Halaman
Kompetensi DasarPengalaman BelajarKompetensi Dasar Dan Pengalaman BelajarIntegral TentuBab5Melalui pembelajaran Integral Tertentu, siswa memperoleh pengalaman belajar:1.Mengaproksimasi luas daerah dengan mengunakan jumlah poligon-poligon (segi empat).2.Menemukan konsep jumlah Riemann dengan menggunakan konsep sigma dan jumlah poligon-poligon. 3.Mendefinisikan integral tentu menggunakan konsep jumlah Riemann1.1Menghayati dan mengamalkan agama yang dianutnya2.1Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual2.2Memiliki dan menunjukkan rasa ingin tahu, motivasi internal, rasa senang dan tertarik dan percaya diri dalam melakukan kegiatan belajar ataupun memecahkan masalah nyata3.7Memahami konsep jumlah Rieman dan integral tentu suatu fungsi dengan menggunakan fungsi-fungsi sederhana non-negatif. 3.8Menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus untuk menemukan hubungan antara integral dalam integral tentu dan dalam integral tak tentu.4.7Mengolah data dan membuat model fungsi sederhana non negatif dari masalah nyata serta menginterpretasikan masalah dalam gambar dan menyelesaikan masalah dengan mengunakan konsep dan aturan integral tentu. 4.8Mengajukan masalah nyata dan mengidentikasi sifat fundamental kalkulus dalam integral tentu fungsi sederhana serta menerapkanny adalam pemecahan masalah.
Bernhard Riemann lahir di Breselenz, sebuah desa didekat Danneberg di Kerajaan Hanover di Jerman . Riemann merupakan anak kedua dari 6 bersaudara. Keluarga Riemann miskin dan Riemann serta saudara-saudaranya lemah serta sakit-sakitan. Meskipun hidup dalam kemiskinan dan kekurangan gizi, ayah Riemann berhasil mengumpulkan dana yang cukup untuk mengirim puteranya yang kini berusia 19 tahun ke Universitas Göttingen yang terkenal itu. Di sana, dia bertemu untuk pertama kali Carl Friedrich Gauss, yang dijuluki “Pangeran Ilmu Matematika,” salah seorang matematikawan terbesar sepanjang masa. Bahkan sampai sekarang, Gauss digolongkan oleh para ahli matematika sebagai salah satu dari ketiga matematikawan paling terkenal dalam sejarah: Archimedes, Isaac Newton, dan Carl Gauss.Hidup Riemann singkat, hanya 39 tahun. Ia tidak mempunyai waktu untuk menghasilkan karya matematika sebanyak yang dihasilkan Cauchy atau Euler. Tetapi karyanya mengagumkan untuk kualitas dan kedalamannya. Makalah-makalah matematisnya menetapkan arah baru dalam teori fungsi kompleks meprakarsai studi mendalam dari apa sekarang yang disebut topologi, dan dalam geometri memulai perkembangan yang memuncak 50 tahun kemudian dalam teori Relativitas Einstein.Walaupun Newton dan Leibniz keduanya mempunyai suatu versi tentang Intergal dan mengetahui tentang Teorema Dasar dari kalkulus intergal, Riemanlah yang memberi kita definisi modern tentangIntergal Tentu. Untuk menghormatinya, disebutIntergal Riemann. Riemann juga dihubungkan denganfungsi zeta Riemann, lema Riemann, manipol Riemann, teorema pemetaan Riemann, problem Riemann-Hilbert, teorema Rieman-Roch, persamaan Cauchy-Riemann.Sumber: www.thefamouspeople.com/profiles/bernhard-riemann-biography-440.phpBeberapa hikmah yang mungkin bisa kita petik, diantara:1.Kemiskinan dan kekurangan/kelemahan fisik bukan alasan untuk berhentibelajar dan mengejar cita-cita, selama ada kemauan pasti ada jalan2.Nilai karya seseorang tidak hanya dilihat dari kuantitas belaka karena yang tak kalah pentingnya dalah kualitas dari karya itu sendiri.Biografi Bernhard RiemannSumber: Dokumen Kemdikbud
Peta KonsepIntegralIntegralTentuIntegral RiemannJumlah RiemannSigmaTeorema Fundamental Kalkulus (TFK)Penerapan Integral Tentu (Luas Daerah)Integral Taktu Tentu
Kelas XII SMA/MA212Subbab 5.1 Notasi Sigma, Jumlah Riemann dan Integral TentuKegiatan 5.1.1 Menentukan Luas Permukaan DaunAyo MengamatiSecara alamiah tumbuhan mengalami kehilangan air melalui penguapan. Proses kehilangan air pada tumbuhan ini disebut transpirasi. Pada transpirasi, hal yang penting adalah difusi uap air dari udara yang lembab di dalam daun ke udara kering di luar daun. Kehilangan air dari daun umumnya melibatkan kekuatan untuk menarik air ke dalam daun dari berkas pembuluh yaitu pergerakan air dari sistem pembuluh dari akar ke pucuk, dan bahkan dari tanah ke akar. Besarnya uap air yang ditranspirasikan dipengaruhi oleh beberapa faktor, antara lain: (1) Faktor dari dalam tumbuhan (jumlah daun, luas daun, dan jumlah stomata); (2) Faktor luar (suhu, cahaya, kelembaban, dan angin).Pearson Education, Inc., publishing as Benyamin Cummings.Outside air ΨLeaf Ψ (air spaces)Leaf Ψ (cell walls)= –10.0 to= –7.0 MPa= –1.0 MPa–100.0 MPaTrunk xylem Ψ= –0.8 MPaRoot xylem Ψ= –0.6 MPaSoil Ψ= –0.3 MPaWater potential gradientXylemsapMesophyllcellsStomaWatermoleculeAtmosphereTranspirationXylemcellsAdhesionCellwallCohesion,byhydrogenbondingCohesion andadhesion inthe xylemWater uptakefrom soilWaterSoilparticleRoothairWatermoleculeGambar 5. 1 Proses Transpirasi Pada Tumbuhan
MatematikaKurikulum 2013213Berikut penampang salah satu daun:Gambar 5. 2 Penampang sebuah daunKarena luas permukaan daun merupakan faktor yang mempengaruhi laju transpirasi pada tumbuhan, maka informasi mengenai ukuran luas daun berguna untuk mengetahui laju transpirasi tersebut. Selanjutnya, cobalah anda amati gambar permukaan daun berikut ini:Gambar 5. 3 Dua Versi Penempatan Daun Pada Permukaan Kertas berpetak dan berkolomAyo Menanya??Berdasarkan hasil pengamatan/membaca informasi tentang pengaruh luas daun terhadap laju transpirasi serta Gambar 5.3, coba anda buat minimal 3 pertanyaan/dugaan awal/kesimpulan awal mengenai luas daun. Upayakan pertanyaan yang anda buat memuat kata-kata “luas daerah”, “membagi/mempartisi”, “persegipanjang” dan “nilainya paling mendekati”.
Kelas XII SMA/MA214Ayo Menggali Informasi+=+Dari sekian banyak pertanyaan yang anda buat, mungkin ada diantaranya pertanyaan-pertanyaan berikut:1.Bagaimana cara menghitung luas daun tersebut?2.Konsep luas apa yang bisa diterapkan untuk menghitung luas bidang secara umum?3.Bagaimana cara memperkirakan secara akurat ukuran luas daerah yang memiliki bentuk tak beraturan?Untuk mengumpulkan informasi yang mendukung jawaban atas pertanyaan-pertanyaan yang anda ajukan, coba perhatikan gambar-gambar berikut ini:PersegipanjangpA = p × llJajarangenjangpA = p × ttSegitigapA = ½ p × tGambar 5. 4Dari Gambar 5.4, cobalah Anda cermati tentang bagaimana penentuan luas segitiga dan jajarangenjang menggunakan konsep luas persegipanjang. A1A2A3A4A5A= A1 + A2 + A3 + A4 + A5Gambar 5. 5 Poligon/segibanyak ADari Gambar 5.5, cobalah amati dan buatlah kesimpulan terkait hubungan antara luas segibanyak A dan luas segitiga-segitiga A1, A2, ..., A5.
MatematikaKurikulum 2013215T1T2T3Gambar 5. 6Dari Gambar 5.6, cobalah amati dan buatlah kesimpulan tentang hubungan antara luas lingkaran dengan luas segibanyak yang menyelimuti lingkaran tersebut.Ayo MenalarKembali ke masalah luas penampang daun, selanjutnya perhatikan gambar berikut:Kita anggap daun simetris dengan tulang daun sebagai sumbu simetrinya, kemudian potonglah tepat pada sumbu simetrinyaGambar 5.7Berdasarkan Gambar 5.7, apa yang bisa Anda simpulkan terkait luas daun awal dengan luas daun setelah dipotong? Apakah berarti untuk mencari luas daun, cukup ditentukan luas separuh daunnya, sebagai berikut: Gambar 5. 8 Penampang Setengah Daun
Kelas XII SMA/MA216A1A2A3A4A5A6A7A8Gambar 5. 9 Penempatan Setengah Daun Pada Koordinat KartesiusDengan demikian, luas separuh daun bisa dihitung dengan menghitung jumlah luas semua persegipanjang. Apakah luas separuh daun (Adaun) sama dengan jumlah semua luas persegipanjang tersebut (A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 )?Ayo MenalarKetika Anda perhatikan jumlah luas-luas persegipanjangA1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8 Pertanyaan menarik yang bisa Anda ajukan adalah apakah ada cara yang praktis atau singkat penulisan bentuk jumlah tersebut.Untuk menyatakan jumlah tersebut dalam bentuk yang sederhana digunakan notasi sigma81iiA=∑, yang berarti kita menjumlahkan semua bilangan dalam bentuk yang diindikasikan sebagai indeks i yang merupakan bilangan bulat, mulai dari bilangan yang ditunjukkan di bawah ∑ dan berakhir pada bilangan di atas ∑.Contoh 5.1Nyatakanlah bentuk jumlah a1 + a2 +a3 + ... + an dalam notasi sigma.
MatematikaKurikulum 2013217Contoh 5.2Nyatakanlah bentuk jumlah deret persegi 1 + 22 + 32 + ... + n2 dalam notasi sigma.Contoh 5.3Bandingkanlah dan simpulkan pasangan nilai sigma berikut ini:1.1niica=∑ dan 1niica=∑2.()1niiiab=+∑ dan 11nniiiiab==+∑∑3.()1niiiab=−∑ dan 11nniiiiab==−∑∑Misalkan batas tinggi daun pada Gambar 5.9 diwakili oleh grafik fungsi f(x) pada interval [0, a] dengan partisi (bagian) sebanyak 8, sehingga diperoleh sketsa sebagai berikut: f(x)xy{{{{{{{{A1A2A3A4A5A6A7A8∆x1∆x2∆x3∆x4( )2fx( )3fx2x1x8x7x3x4x5x6xGambar 5. 10
Kelas XII SMA/MA218Berdasarkan informasi pada Gambar 5.10. Lengkapilah isian berikut:A1= ( )1fx∆x1A2= ( )2fx...A3= ...∆x3A4= ...A5= ...A6= ...A7= ...A8= ...Berdasarkan konsep sigma dan jawaban anda terkait tiap-tiap luas persegipanjang dengan panjang f(xi) dan lebar ∆xi, buatlah kesimpulan terkait luas total (keseluruhan persegi yang terbentuk).( )( )( )188111181......iiiA AA fx xfx xfx x=+ ++ = ∆++ ∆=∆∑Selanjutnya nilai ( )1niiifx x=∆∑ disebut Jumlah Riemann fungsi f(x), dengan ix adalah titik wakil pada interval ke-i dan ∆xi lebar interval ke-idan n banyak subinterval.Contoh 5.4Misalkan diketahui suatu fungsi f(x) = x pada interval [0, 3], tentukan jumlah Riemann dengan menggunakan 6 subinterval sama panjang dan titik ujung kanan subinterval sebagai titik wakil tiap-tiap subinterval.Alternatif PenyelesaianUntuk dapat menentukan jumlah Riemann fungsi f(x) = x dengan 6 subinterval pada selang [0, 3], perhatikan grafik fungsi f(x) = x pada interval [0, 3], berikut:
MatematikaKurikulum 2013219123xy123Gambar 5.11Dengan demikian didapat,( )( )( )110, 50, 5fxfxf===( )( )( )110, 50, 5fxfxf===( )2...fx=( )3...fx=( )4...fx=( )5...fx=( )6...fx=Karena lebar subinterval sama berarti 30 162ix−∆= = = 0,5 untuk setiap i = 1, ..., 6Jadi jumlah Riemann dari f(x) = x pada interval [0, 3] dengan 6 subinterval adalah
Kelas XII SMA/MA220Contoh 5.5Misalkan diketahui suatu fungsi f(x) = x2 pada interval [0, 3], tentukan jumlah Riemann dengan menggunakan 6 subinterval sama panjang dan titik ujung kanan subinterval sebagai titik wakil tiap-tiap subinterval.Alternatif PenyelesaianUntuk dapat menentukan jumlah Riemann dari f(x) = x2 dengan 6 subinterval pada interval [0, 3], dengan menggunakan cara penyelesaian pada Contoh 5.14, gambarlah grafik fungsi f(x) = x2 pada interval [0, 3] dan 6 persegipanjang sebanyak 6 dengan lebar sama dan tinggi persegipanjang sebesar nilai fungsi pada batas kanan subinterval berikut:01 2 3 4 5123456789yxGambar 5.11( )61iiifx x=∆∑= ( )( )( )( )( )( )123456123456fx x fx x fx x fx x fx x fx x∆+ ∆+ ∆+ ∆+ ∆+ ∆( )611iifx x=∆∑ = = ( )( )( )( )( )( )123456fx x fx x fx x fx x fx x fx x∆+∆+∆+∆+∆+∆= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()123456fx fxfxfxfxfxx+++++ ∆= ...
MatematikaKurikulum 2013221Karena panjang subinterval sama berarti 30 162ix−∆= = = 0,5 untuk setiap i = 1, ..., 6Jadi jumlah Riemann dari f(x) = x2 pada interval [0, 3] dengan 6 subinterval adalah( )611iifx x=∆∑= ( )1fx x∆+ ( )2fx x∆ + ( )3fx x∆ + ( )4fx x∆ + ( )5fx x∆ + ( )6fx x∆= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )()123456fx fxfxfxfxfxx+++++ ∆= ...Contoh 5.6Bila diperhatikan fungsi pada Contoh 5.15 merupakan fungsi positif (mengapa?). Sketsakan fungsi g(x) = x − 1 pada interval [−1, 2] memakai 7 subinterval dan titik tengah subinterval sebagai titik wakilnya, buatlah kesimpulan tentang hubungan antar jumlah Riemann dengan jumlah luas persegipanjang (Ai) yang terbentuk. x1x2x3x4x5x6x7A1A2A4A5A6A7A30,511,522,50-0,511-1-2g(x)Gambar 5.12
Kelas XII SMA/MA222Jumlah Riemann dari (x) = x− 1 pada interval [−1, 2] adalah( )71iiigx x=∆=∑( )( )( )( )( )( )( )4123456712 35 6 7gx x gxx gxx gx x gxx gxx gxx∆+ ∆+ ∆+ ∆+ ∆+ ∆+ ∆= A1 + ... + ... + ... + A5 + ... + ... Alternatif PenyelesaianKembali ke pembahasan tentang menentukan luas daun yang diwakili oleh luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x) dan sumbu-x pada interval [0, a], seperti yang terlihat pada gambar berikut:f(x)12345678123Gambar 5. 13pertanyaan menarik yang bisa diajukan adalah apakah jumlah luas semua persegi panjang yang terbentuk sama dengan luas separuh daun yang ingin dicari? Jika tidak, bagaimana menghitungnya agar nilainya sama?Untuk menjawab pertanyaan tersebut perhatikan gambar berikut ini:123456781234567123456781234567123456781234567Gambar 5. 14
MatematikaKurikulum 2013223Cobalah buat kesimpulan terkait daerah di bawah kurva dengan luas seluruh persegi panjang yang dibentuk dengan berbagai kondisi (panjang persegipanjang makin mengecil).Dengan menggunakan hasil kesimpulan anda, gabungkan dengan konsep limit tak hingga, yakni:( )limngn→∞Misalkan dalam hal ini g(n) merupakan jumlah Riemann oleh f(x) dengan nsubinterval. Buatlah kesimpulan terkait luas daun atau luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dan sumbu-x:Dengan demikian luas setengah daun tersebut (Adaun) adalah:( )11limndauniniAfx x→∞==∆∑Selanjutnya ( )11limniinfx x=→∞∆∑ disebut Integral Tentu fungsi f(x) pada interval [0, a], ditulis ( )0af x dx∫.
Kelas XII SMA/MA224Contoh 5.7Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) = x, tentukan integral tentu dari f(x) = x pada interval [0, 3] atau 30x dx∫Alternatif PenyelesaianUntuk menentukan integral tentu dari fungsi f(x) = x pada interval [0, 3], maka yang perlu dilakukan pertama kali adalah menentukan jumlah Riemann dari fungsi f(x) = x dengan n subinterval pada interval tersebut (mengapa?)Dengan demikian perlu menetapkan: panjang masing-masing subinterval dan Titik wakil pada masing-masing subinterval (ix).•Panjang masing-masing subinterval (∆ix) dibuat sama (apa boleh berbeda? mengapa dibuat sama?), yakni:30 3ixnn−∆= =, untuk setiap i = 1, ..., n•Kita bisa memilih titik wakilnya (ix) adalah titik batas kanan pada tiap-tiap interval (apa boleh ujung kiri/ tengah-tengah interval?), sehingga didapat:1112200xxxnn= = +∆ = + =221240202xxxnn= =+⋅∆=+⋅ =33...xx= =44...xx= =......iixx= =......nnxx= =Jumlah deret aritmatika, deret kuadrat dan kubik dalam notasi sigma( )111 2 ...2ninnin=+=+++=∑( )()22112 11 4 ...6ninnnin=++=+++ =∑( )233111 8 ...2ninnin=+=++ + =∑
MatematikaKurikulum 2013225Sehingga nilai fungsi pada tiap-tiap titik wakilnya diperoleh:( )( )1...iifxfx x== =Dengan demikian jumlah Riemannnya adalah( )( )( )( )12121...inninifx x fx x fx xfx x=∆= ∆+ ∆++ ∆∑Karena subinterval sama panjang ∆xi = ∆x = 3nuntuk setiap i = 1, 2, ..., nsehingga ( )( )11nniiiiifx xfx x==∆=∆∑∑= ( )( )( )112 2...nnfx x fx xfx x∆+ ∆++ ∆= ( ) ( )( )()122...nfx fxfxn+ ++3n= ...Dengan demikian diperoleh jumlah Riemann untuk fungsi f(x) = x pada interval [0, 3] adalah ( )1iniifx x=∆∑ = ...12301231230123Gambar 5.16Jadi integral tentu dari f(x) = x pada interval [0, 3] atau 30x dx∫ adalah 30x dx∫= ( )11lim...ninifx x→∞=∆=∑
Kelas XII SMA/MA226Contoh 5.8Dengan menggunakan Jumlah Rienmann, tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut:1230123Gambar 5.15Contoh 5.9Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) = x2, tentukan integral tentu dari f(x) = x2, pada interval [0, 2] atau 220x dx∫.
MatematikaKurikulum 2013227Alternatif PenyelesaianAnda bisa menggunakan langkah-langkah penyelesaian pada Contoh 5.17 atau menggunakan langkah-langkah penyelesaian sendiri. Anda bisa mulai dengan menggambarkan grafik fungsi pada interval yang diberikan, selanjutnya tentukan nilai integral tentunya.Contoh 5.10Perhatikan daerah R yang merupakan gabungan dari daerah R1 dan R2 yang diarsir pada gambar berikut:abcxyR1R2y = f(x)Tentukan luas daerah R, R1 dan R2 dan nyatakan hubungan antara antara luas R dengan luas total R1 dan R2 dalam persamaan integral.Dari hasil mengasosiasi, buatlah kesimpulan umum terkait:a.Notasi Sigma dan Sifat-sifatnyab.Jumlah Rieman untuk fungsi fc.Integral Tentu untuk fungsi f yang didefinisikan pada interval tutup [a, b]d.Luas daerah di atas sumbu-x dan dibatasi oleh grafik fungsi positif fpada interval [a, b] dan nilai integral tentu ( )baf x dx∫.
Kelas XII SMA/MA2281.Perhatikan gambar berikut:a.Nyatakan masalah banyaknya jeruk yang disajikan pada Gambar 1dalam notasi sigma.b.Tentukan banyaknya jeruk yang disusun di atas kotak seperti yang terlihat pada Gambar 1.2.Tentukan jumlah Riemann dari fungsi yang diperlihatkan oleh gambar berikut01324yx0,53,51,720,72,741,5y = f(x) = x2 - 4x + 3Gambar 2Latihan 5.1Ayo MengomunikasikanTuliskanlah kesimpulan yang Anda dapatkan terkait jumlah Riemann dan integral tentu untuk fungsi f yang didefinisikan pada interval tutup [a, b].Tukarkan tulisan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, silahkan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat.Gambar 1Sumber : Kemendikbud
MatematikaKurikulum 20132293.Tentukan jumlah Riemann fungsi f(x) = −x2 + x pada interval [−2, 0] dengan menggunkan 4 subinterval dengan lebar sama panjang dan titik-titik ujung kiri subinterval sebagai titik wakilnya.4.Tentukan jumlah Riemann fungsi g(x) = −2x + 4 pada interval [1, 5] (menggunakan n subinterval dengan lebar sama panjang).5.Tentukan integral tentu fungsi f(x) = 2x2−x pada interval [0, 3] atau 3202xxdx−∫.6.Tentukan integral tentu222xdx−∫.7.Nyatakan limit berikut sebagai suatu integral tentua.144limnininn=→∞∑b.122lim1nininn=→∞+∑c.()231limcos( ) cos() cos() ... cos()nnnnnnnπππ π++++→∞d.123 2lim...4444nn nnnnnnn++ ++ + ++→∞8.Tunjukkan bahwa ()2212bax dxba=−∫9.Gunakan definisi jumlah Riemann, untuk menunjukkan bahwa:a. ( ) dx0aafx=∫b. ()() ,baabf x dxf x dx a b=−>∫∫
Kelas XII SMA/MA230Subbab 5.2 Teorema Fundamental Kalkulus.Anda telah mempelajari tentang integral tentu pada subbab sebelumnya. Untuk menentukan nilai integral tentu menggunakan jumlah Riemann, ternyata memerlukan langkah yang rumit. Newton dan Leibniz telah menemukan cara yang lebih mudah dalam menentukan nilai integral tentu. Cara tersebut dikenal sebagai Teorema Fundamental Kalkulus (TFK). Pada uraian berikut, Anda akan belajar tentang teorema fundamental kalkulus. Teorema fundamental kalkulus terdiri atas teorema fundamental kalkulus I dan teorema fundamental kalkulus II. Teorema ini banyak digunakan dalam masalah terapan, misalnya mencari luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva. Seperti apa teorema fundamental kalkulus itu? Silahkan Anda pelajari dalam uraian berikut.Kegiatan 5.2.1 Teorema Fundamental Kalkulus IAyo MengamatiContoh 5.11Diberikan daerah yang dibatasi oleh garis 132yt= +, 0, ttx= =. Daerah yang diarsir membentuk trapesium. Dengan menggunakan rumus luas trapesium didapat, 211( )(33)22134Axxxxx= ++= +Jika A(x) diturunkan, maka diperoleh:21'( )3342Axxx=+=+.Gambar 5.11y0xtA(x)132yt= +
MatematikaKurikulum 2013231Luas daerah tersebut dapat dinyatakan dengan 0132xtdt+∫, sehingga 20111'( )333422xddA xxxtdtxdxdx= + = +=+∫dengan kata lain 0113322xdtdtxdx+=+∫Contoh 5.12Misalkan luas daerah pada gambar di bawah dinyatakan sebagai fungsi F(x). F(x)f(t) = 2t2 + tty0xf(t) = 2t2 + tty0x(a)(b)Gambar 5.12 Luas daerah yang dibatas oleh 2() 2ftt t= +, sumbu-x dan garis t = x.Dengan mempartisi interval tersebut menjadi n subinterval sama panjang (Gambar 5.2.1b), panjang subinterval 0xxtnn−∆= =, maka bentuk integral tentunya adalah: 201121222112lim( )lim( )lim2( )lim2nxininninninnniitt dtf ttix xfnnixix xnnnxxxiinnn→∞=→∞=→∞=→∞==+=∆==+=+∑∫∑∑∑∑201121222112lim( )lim( )lim2( )lim2nxininninninnniitt dtf ttix xfnnixix xnnnxxxiinnn→∞=→∞=→∞=→∞==+=∆==+=+∑∫∑∑∑∑
Kelas XII SMA/MA2322233 22333 3 2 2232(1)( 21)(1)lim262( 23)(1)lim322lim33 22232nnnxx nnnxnnnnnx n n n xnnnxxxxxnnnxx→∞→∞→∞++ +=++++=+=++ ++= +Oleh karena 20()2xF xtt dt=+∫ , maka 322202'( )2232xd xx dF xtt dtxxdxdx= + = +=+∫Dengan kata lain 22022xdtt dtxxdx+=+∫Dari Contoh 5.11 dan Contoh 5.12 di atas, diperoleh 0113322xdtdtxdx+=+∫dan 22022xdtt dtxxdx+=+∫. Hubungan inilah yang disebut teorema fundamental kalkulus I.Ayo Menanya??Setelah mengamati Contoh 5.11, Contoh 5.12 coba Anda membuat pertanyaan. Mungkin Anda akan bertanya: Seperti apa bentuk umum teorema fundamental kalkulus I itu? Sekarang, buatlah pertanyaan-pertanyaan pada tempat berikut ini.
MatematikaKurikulum 2013233Ayo Menggali Informasi+=+Seperti apakah bentuk umum teorema fundamental kalkulus I? Untuk memahami lebih jelas perhatikan kembali Contoh 5.11 dan Contoh 5.12 di atas. Dari kedua contoh tersebut diperoleh kesimpulan 1.0113322xdtdtxdx+=+∫2.22022xdtt dtxxdx+=+∫Misalkan 13()2tft+=, maka 1()32fxx= + sehingga 00113322()( )xxdtdtxdxdf t dtf xdx+=+=∫∫Dengan cara yang sama, misal 22()t t gt+=, maka 2() 2gxx x= + sehingga220022()( )xxdtt dtxxdxdg t dtg xdx+=+=∫∫Untuk lebih meyakinkan dugaan Anda, mintalah kepada Guru Anda beberapa fungsi yang kontinu di (a, b). Misalkan x ∈ (a, b), carilah ()xaf t dt∫ dari tiap-tiap fungsi tersebut. Selidikilah, apakah diperoleh kesimpulan yang sama dengan Contoh 5.11 dan 5.12?
Kelas XII SMA/MA234Teorema Fundamental Kalkulus I (TFK I)Jika f kontinu pada [a, b] dan x sebarang titik di (a, b), maka ()( )xadf t dtf xdx=∫Ayo MenalarSebagai seorang pelajar yang berfikir logis, tentunya kalian tidak percaya begitu saja dengan suatu pernyataan. Pernyataan tersebut harus dibuktikan terlebih dahulu baru dipercaya kebenarannya. Sekarang, marilah kita buktikan kebenaran dari teorema fundamental kalkulus I tersebut. Sebelumnya perlu diingat kembali tentang sifat penambahan interval pada integral tentu. jika fadalah fungsi yang terintegralkan pada interval yang memuat a, b, dan c, maka()()()c bca abf x dxf x dxf x dx=+∫∫∫Bukti Teorema Fundamental Kalkulus IDidefinisikan ( )()xaF xf t dt=∫()()( )( )............. ( )xhaxxhaxF x hf t dtf t dtf t dta+++==+∫∫∫......................................................... (1)Didapat()( )()xhxFx h Fxftdt++− =∫Misalkan m = minimum f(x) untuk x di [a, b]M = maksimum f(x) untuk x di [a, b]berdasarkan gambar di samping diperolehf(x)y = f(t)txx + hMmySumber: Calculus 9th
MatematikaKurikulum 2013235000()()()()().............. ( )()()limlimlimxhxhhhmhf t dt Mhmh Fx h Fx MhFx h FxmMbhFx h FxmMh+→→→≤≤≤ +− ≤+−≤≤+−≤≤∫0lim( )hm fx→= dan 0lim( )hM fx→=, sehingga 0()()() lim()hFx h Fxfxfxh→+−≤≤Dengan menggunakan teorema apit didapat 0()()lim( )hFx h Fxfxh→+−=Karena 0()()lim( )( )xahFx h FxddF xf t dthdxdx→+−==∫Disimpulkan bahwa ( )(x)xadf t dtfdx=∫Nah, sekarang cobalah untuk memberi alasan pada persamaan (1) dan persamaan (2) di atas.Ayo MengomunikasikanDari pengamatan Anda melalui contoh dan bukti tentang teorema fundamental kalkulus I buatlah kesimpulan. Tulislah kesimpulan yang Anda buat pada selembar kertas. Kemudian tukarkan kesimpulan Anda dengan teman yang lain. Cermati kesimpulan teman Anda, kritisi, tanyakan dan berikan saran perbaikan jika dianggap perlu.......................................................................... (2)
Kelas XII SMA/MA236Kegiatan 5.2.2 Teorema Fundamental Kalkulus IIAyo MengamatiPada subbab sebelumnya Anda telah mempelajari integral tentu dengan menggunakan jumlah Riemann. Untuk menghitung integral tentu dengan menggunakan jumlah Riemann dibutuhkan langkah yang panjang dan agak rumit. Amati dengan cermat beberapa bentuk integral tentu berikut diambil dari subbab sebelumnya. Tabel 5.2.1. Fungsi dan integral tentunya.f(x)()baf x dx∫(Dengan Jumlah Riemann)F(x)F(a)F(b)F(b) −F(a)x3092x dx=∫22xC+C92C+92x222083x dx=∫33xC+C83C+83−2x + 451248xdx−+ =−∫24xxC−+ +3 + C5C−+− 82x2−x3202722xx dx−=∫32232xxC−+C272C+272Contoh 5.13Tentukan 212xdx+∫.Alternatif Penyelesaiandaerah yang diarsir pada gambar berikut adalah representasi 212xdx+∫ yang membentuk trapesium. Luas daerah tersebut adalah ()17 = 3 4 1 = 22L+⋅
MatematikaKurikulum 2013237Nah sekarang akan kita coba membuat proses yang sama dengan Tabel 5.2.1.()2fx x= +, sehingga 21()22Fxxx C= ++15(1)222FCC= ++ = +dan (2)2 46FCC=++ =+57( 2 )(1)622FFC C− =+− + =Contoh 5.14Tentukan integral tentu 321x x dx+∫.y = x + x220510150123Gambar 5.15Daerah yang diarsir pada gambar di atas adalah representasi 321x x dx+∫. Untuk menghitung 321x x dx+∫ digunakan jumlah Riemann. Misalkan interval tersebut dipartisi menjadi n subinterval dengan lebar subinterval yang sama, yaitu 2xn∆=, sehingga 21iixn= +y = x + 2012345123Gambar 5.14
Kelas XII SMA/MA23821122312231 1123222lim( )lim114 128lim4 128lim1 2 (1)8(1)( 21)lim 426lim 4 6nninniinnin nnni iinniifx xnnniinn niinnnnnnnnnn→∞→∞==→∞=→∞===→∞→∞∆=+ + +=++= +++++=++= ++∑∑∑∑ ∑∑2684 4338381033nnn+++= +=Jadi 321383x x dx+=∫Nah sekarang akan kita coba membuat proses yang sama dengan Tabel 5.2.1.2()fx x x= +, sehingga 2311()23Fxxx C=++115(1)236FCC=++ =+ dan 927(3)922FCC= ++ = +27538( 3)(1)26 3FFC C− = +− + =Ayo Menanya??Setelah mengamati dengan cermat Tabel 5.2.1 dan beberapa contoh di atas, mungkin Anda mempunyai dugaan dan pertanyaan-pertanyaan. Mungkin pertanyaan Anda sebagai berikut:1.Apa hubungan antara kolom (1) dengan kolom (3) pada Tabel 5.2.1?2.Adakah keterkaitan antara turunan dan integral tak tentu pada Tabel 5.2.1?
MatematikaKurikulum 20132393.Apakah hasil pada kolom (2) dan kolom (6) pada Tabel 5.2.1 selalu sama untuk sebarang fungsi f(x)?4.Apakah konstanta C di kolom (3) pada Tabel 5.2.1 dapat diabaikan?Tulislah dugaan dan pertanyaan-pertanyaan Anda pada kotak berikut:Teorema Fundamental Kalkulus II (TFK II)Jika f kontinu pada [a, b] dan F antiturunan f pada [a, b], maka()()()baf x dxF bF a=−∫Perlu Anda cermati, bahwa TFK II ini berlaku apabila f merupakan fungsi kontinu pada [a, b].F(b) −F(a) dinotasikan [ ]()baFx, sehingga TFK II dapat dinyatakan sebagai[ ]()()()()bbaaf x dxF xF bF a==−∫Contoh 5.15Gunakan TFK II untuk menentukan 312x dx∫Alternatif Penyelesaian3322211231 8x dxx= =−=∫
Kelas XII SMA/MA240Contoh 5.16Luas daerah yang dibatasi oleh garis 23 0xy−+ =, sumbu x, garis x = 0 dan x = 3 dapat dinyatakan dalam bentuk integral tentu 3023x dx∫. Luas daerah yang terbentuk adalah 322201113 03333x=−=30123023x dx∫-112345-1−2x + 3y = 0 Gambar 5.16. Luasan daerah dengan menggunakan integral tentu.Alternatif PenyelesaianLuasan daerah pada Gambar 5.16 di atas ternyata dapat dicari dengan integral tentu 3023x dx∫. Hal ini sesuai dengan luas daerah dengan menggunakan rumus luas segitiga. Dari Gambar 5.16 di atas, panjang alas segitiga adalah 3 dan tingginya 2. Sehingga luas segitiga tersebut 11 = = 3 2 = 3.22Lat⋅ ⋅⋅Ayo Menggali Informasi+=+Buatlah beberapa soal tentang integral tentu. Tukarkan soal yang Anda buat dengan teman Anda. Kemudian selesaikan soal yang telah ditukar. Anda dapat menggunakan integral Riemann, TFK I dan TFK II dalam menyelesaikan soal. Secara santun, diskusikan jawaban tiap-tiap soal. Jika ada hal yang tidak Anda mengerti, silahkan minta bantuan dari Guru Anda.
MatematikaKurikulum 2013241Ayo MenalarAnda telah mempelajari Teorema Fundamental Kalkulus I (TFK I). Hal penting dari TFK I adalah ()( )xadf t dtf xdx=∫. Sekarang kita gunakan TFK I. untuk membuktikan TFK II. Misalkan ( )()xag xf t dt=∫. Hal ini berarti g(x) adalah antiturunan dari f. ................. (1)Oleh karena itu, jika F(x) adalah antiturunan lain untuk f,F(x) dan g(x) hanya dibedakan oleh suatu konstanta C, sehingga dapat dinyatakan sebagai: F(x) = g(x) + Cakibatnya()()Fa ga C=+ dan ()()Fbgb C=+............................ (2)( )()0aag af t dt==∫ dan ( )()bag bf t dt=∫..................... (3)Sehingga()()()( ())()()() ()()baFb Fagb C ga Cgb C ga C gb gaf t dt− = +− + = +− −= − =∫Diperoleh kesimpulan ()( )( )baf t dtF bF a=−∫.Sekarang berilah alasan pada langkah (1), (2), dan (3) pada pembuktian TFK II.Misalkan ( )()xag xf t dt=∫, Hal ini berarti [a, b] adalah antiturunan dari f.Alasannya :
Kelas XII SMA/MA242()()Fa ga C=+ dan ()()Fbgb C=+Alasannya : ( )()0aag af t dt==∫ dan ( )()bag bf t dt=∫Alasannya :Ayo MengomunikasikanDari aktivitas dan pengamatan yang telah Anda lakukan, buatlah kelompok yang beranggotakan 4 orang. Kemudian tulislah kesimpulan tentang teorema fundamental kalkulus II. Tukarkan hasil kesimpulan Anda dengan kelompok lain. Amati dan cermati kesimpulan kelompok lain. Kritisi, tanyakan dan beri saran jika diperlukan.
MatematikaKurikulum 2013243Latihan 5.21.Tentukan G'(x)jika:a.1()3xG xt dt=∫b.1()3xG xt dt=∫c.21( )sinxG xt dt=∫d.1( )cosxG xt dt=∫2.Diketahui fungsi f yang 21()1xuf xduu=+∫, dan x≥ 0. Tentukan interval sehingga grafik y = f(x):a.naikb.turunc.cekung ke atas.3.Tentukan f jika:a.1()25xf t dtx= +∫b.1( )sinxf t dtx=∫c.20( )cosxf t dtx=∫4.Selidiki, adakah fungsi f yang memenuhi 0()1xf t dtx= +∫5.Tentukan integral berikut.a. 2043 cos 2xx dxπ−∫b. 131x dx−∫c. 3211xxdxx−+∫
Kelas XII SMA/MA2446. Jika diketahui 42223 444pxdxxdx−= −∫∫, tentukan p. 7. Tentukan nilai b jika diketahui nilai 202sin 214bxx dxπ+=+∫8.Gunakan sifat aditif pada integral tentu untuk menentukan nilai:a. 32x dx−∫b. 321xdx−−∫c. 22sinx dxππ−∫9.Tunjukkan bahwa 12xx merupakan antiturunan dari x. Gunakan hasil itu untuk menuliskan bax dx∫tanpa bentuk integral.10.Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 , sumbu-x, sumbu-y dan garis x = 4adalah 420x dx∫. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi-fungsi tersebut.1234x = 4y = x2420Lx dx=∫1815125921714114811613610370-1-2Gambar 1
MatematikaKurikulum 2013245Subbab 5.3 Penerapan Integral TentuDapatkah Anda menghitung luas daerah dari bangun berikut?(a)(b)(c)(d)(e)Gambar 5.17 Penampang beberapa bangun datar.Dari beberapa bangun datar pada Gambar 5.17 dapatkah Anda menghitung luas daerahnya? Tentunya sangat mudah untuk menghitung luas daerah yang ditunjukkan Gambar 5.17.a, 5.17.b dan 5.17.c. Lantas bagaimana menghitung luas daerah yang ditunjukkan Gambar 5.17.d dan 5.17.e?Pada uraian sebelumnya Anda telah mempelajari bagaimana cara untuk menentukan luas dari setengah daun. Perhatikan kembali masalah cara menentukan daun berikut ini.
Kelas XII SMA/MA246Gambar 5.18 Penampang setengah daunUntuk menentukan hampiran dari luas daun pada Gambar 5.18 digunakan persegi panjang-persegi panjang atau yang lazim disebut partisi. Agar hampiran dari luas penampang setengah daun ini mendekati luas sesungguhnya, partisi tersebut dibuat sebanyak mungkin. Sehingga luas penampang setengah daun tersebut dinyatakan sebagai1lim( )ndauniiniAfx x→∞==∆∑Dengan ∆xmenyatakan lebar subinterval. Misalkan penampang setengah daun tersebut dibatasi pada interval [a, b], maka luas penampang daun dinyatakan sebagai ()bdaunaAf x dx=∫Ayo MengamatiContoh 5.17Amatilah gambar garis12yx= berikut
MatematikaKurikulum 2013247y = 12x-1-112345630124Gambar 5.19 Gambar garis12yx=Dari Gambar 5.19 di atas, tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis 12yx=, sumbu-x, diantara x = 0 dan x = 6Alternatif PenyelesaianApabila dibuat sketsa daerah yang terbentuk oleh garis 12yx=, sumbu-x, diantara x = 0 dan x = 6 maka diperoleh gambar berikut ini.y = 12x-1-112345630124Gambar 5.20 Gambar daerah yang dibatasi 12yx=, sumbu-x, diantara x = 0 dan x = 6
Kelas XII SMA/MA248Jika diamati daerah yang terbentuk pada Gambar 5.20 adalah segitiga siku-siku dengan panjang alas 6 satuan dan tinggi 3 satuan. Dengan menggunakan aturan luas segitiga diperolehLuas = 11 = 6 3 = 922at⋅⋅Jadi luas daerah yang dibatasi oleh garis 1,0,62yxxx== =dan sumbu-xadalah 9 satuan luas. Mungkin Anda bertanya-tanya, Apakah konsep partisi dan integral tentu dapat digunakan pada masalah ini? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, amatilah gambar-gambar berikut.y = 12x-1-112345630124y = 12x-1-112345630124(a)(b)Gambar 5.21. Daerah yang dibatasi 12yx=, sumbu-x, di antara x = 0 dan x = 6Daerah pada Gambar 5.21 (a) dipartisi menjadi 20 subinterval dengan panjang sama dan pada Gambar 5.21 (b) daerah dipartisi menjadi 50 subinterval dengan lebar sama. Jika partisi ini diperbanyak sampai tak hingga subinterval, maka luas daerah yang dibatasi oleh garis 1,0,62yxxx== =dan sumbu-x dapat dinyatakan sebagai berikut:Luas = 601lim( )niinif xxy dx→∞=∆=∑∫..................................... (3)Oleh karena 12yx=, maka persamaan (3) dapat dinyatakan sebagai
MatematikaKurikulum 2013249Luas = 66222001 111 = = 60 = 9 0 = 92 444x dxx⋅⋅ −⋅ −∫Setelah mengkaji uraian di atas, apakah Anda telah menemukan jawaban dari pertanyaan apakah konsep partisi dan integral tentu dapat digunakan untuk menentukan luas daerah yang dibatasi garis 1,0,62yxxx== =dan sumbu-x?Contoh 5.18Pemilik rumah ingin mengganti bagian atas dari pintu rumahnya dengan menggunakan kaca bergambar. Bagian atas pintu tersebut dinyatakan dalam fungsi 21493y xx=−+, grafik dari bagian atas pintu rumah ditunjukkan pada Gambar 3.5 berikut. Biaya untuk pembuatan dan pemasangan kaca bergambar adalah Rp500.000 per meter persegi. Jika ada 6 pintu di rumahnya, berapa biaya yang harus dikeluarkan oleh pemilik rumah tersebut?f(x) = 21493xx+2468101230124dm(a)(b)Gambar 5.22. Representasi grafik bagian atas daun pintu
Kelas XII SMA/MA250Alternatif PenyelesaianDari Gambar 5.22 b dapat diketahui daerah yang terbentuk adalah daerah yang dibatasi oleh kurva 214()93fxxx=−+, diantara x = 0, x = 12dan sumbu-x. Bagaimana cara menentukan luas daerah tersebut? Coba Anda fikirkan sejenak.Seperti pada contoh sebelumnya, untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva 214()93fxxx=−+, diantara x = 0, x = 12 dan sumbu-x adalah dengan mempartisi daerah tersebut kemudian menggunakan integral tentu.-12468101230124f(x) = 21493xx+Gambar 5.23 Partisi daerah dibatasi 214()93fxxx=−+, diantara x = 0, x = 12 dan sumbu-xJika daerah tersebut dipartisi sampai tak hingga banyaknya subinterval, maka luas daerah dapat dinyatakan sebagai:Luas = 1201lim( )( )niinifx xfxdx→∞=∆=∑∫ ..................................... (4)Dengan ∆x= menyatakan panjang subinterval.Oleh karena 214()93fxxx=−+, maka luas daerahnya adalah:Luas = ( )123212122320001412122 12 = = = = 3293273273f x dxxx dxxx⋅− +− +−+∫∫
MatematikaKurikulum 2013251 Jadi luas bagian atas untuk satu pintu adalah 32 dm2 = 0,32 m2. Sehingga luas bagian atas untuk 6 pintu adalah 6 × 0,32 = 1,92. Oleh karena biaya pembuatan dan pemasangan kaca Rp500.000/m2 maka total biaya yang dikeluarkan adalah 1,92 × 500.000 = 960.000Jadi total biaya yang dikeluarkan untuk pembuatan dan pemasangan kaca adalah Rp960.000,00.Contoh 5.19Pada Contoh 5.17 dan 5.18 grafik fungsi yang diberikan berada di atas sumbu-x. Bagaimana jika grafik yang diberikan berada di bawah sumbu-x? Untuk lebih jelasnya, carilah luas daerah yang dibatasi oleh y = x2−x− 2, x = −1, x = 2 dan sumbu-x.Alternatif PenyelesaianLuas daerah yang dibatasi oleh y = x2−x− 2 dan sumbu x dinyatakan dalam gambar di samping. Daerah yang terbentuk di bawah sumbu-x. Jika daerah tersebut dipartisi sampai tak hingga banyak subinterval, maka luas daerah tersebut dinyatakan sebagai Luas = 1limniinihx→∞=∆∑Dengan hi merupakan tinggi dari tiap-tiap subinterval dan ∆ximenyatakan panjang partisi. Oleh karena sumbu-x adalah garis y = 0, hi dapat dinyatakan sebagai hi = 0 −f(xi). Dengan demikian Luas = 21111limlim( )lim( )nnniiiiiinnniiih xfx xfx xydx−→∞→∞→∞===∆= − ∆=−∆=−∑∑ ∑∫Gambar 5.242-1y = x2 - x - 2
Kelas XII SMA/MA252Oleh karena y = x2−x− 2, maka luas daerahnya adalahLuas = 2232121112241322xxdxxxx−− −− =− − − =−∫Jadi luas daerah yang dibatasi oleh y = x2−x− 2, x = −1, x = 2 dan sumbu xadalah 142 satuan luas.Contoh 5.20Diberikan fungsi y = x3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x3, garis x = −1 dan x = 1 serta sumbu-x.Alternatif PenyelesaianMungkin Anda berfikiran untuk menentukan luas daerah yang dimaksud adalah Luas = 131x dx−∫. Dengan menggunakan Teorema Fundamental Kalkulus II, maka akan diperoleh:1341111101444x dxx−==−=−∫Sehingga luasnya adalah 0, hal ini tidak sesuai dengan kenyataan. Anda harus berhati-hati menyatakan luas dengan integral tentu. Setidaknya buatlah grafik dari fungsi yang diketahui, kemudian tentukan luas daerah yang dimaksud dan gunakan teknik potong(partisi), hampiri dan integralkan. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x3, garis x = −1 dan x = 1 serta sumbu-xdinyatakan dalam daerah yang diarsir dari grafik berikut:
MatematikaKurikulum 2013253Luas daerah dibagi menjadi dua bagian, A1dan A2. Daerah A1berada di atas sumbu-x, sehingga luasnya13101lim( )niixiAf xxx dx→∞==∆=∑∫Daerah A2berada di bawah sumbu-x, sehingga luasnya03211lim( )niixiAf xxx dx−→∞==−∆=−∑∫Luas daerah keseluruhan adalah luas A1ditambah dengan A2.Jadi luas daerah yang dibatasi oleh y = x3, garis x = −1 dan x = 1 serta sumbu-xadalah 12 satuan luas.Contoh 5.21Terdapat suatu grafik yang menggambarkan hubungan antara kecepatan dengan waktu. Kecepatan v pada sumbu-y sedangkan waktu t pada sumbu-x . Diketahui suatu fungsi 2()32tvt= + m/s yang tergambar pada grafik. Hitunglah perubahan posisi pada selang waktu t = 1 hingga t = 3.Alternatif PenyelesaianDalam fisika, perubahan posisi dinyatakan sebagai s, dengan sv dt=∫. Representasi dari perubahan posisi pada selang waktu t = 1 hingga t = 3 adalah daerah yang diarsir pada grafik di samping. Perubahan posisi pada selang waktu t = 1 hingga t = 3 adalah-11A1A2y = x3Gambar 5.25vt = 3t2 + 2Gambar 5.2650101520252143vt
Kelas XII SMA/MA254()( )332331132 = 2 = 32 31 2 = 30tdttt+++⋅ − +∫Jadi perubahan posisi pada selang waktu t = 1 hingga t = 3 adalah 30 meter.Contoh 5.22Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh garis g(x) = 2 −x, kurva f(x) = x2, sumbu-x, sumbu-y, dan garis x = 2.Alternatif PenyelesaianDaerah yang diarsir merupakan daerah yang dibatasi oleh garis g(x) = 2 −x, kurva f(x) = x2, sumbu-x, sumbu-y, dan garis x = 2. Untuk menghitung luas daerahnya tidak bisa dengan menggunakan satu bentuk integral tentu, akan tetapi dua bentuk integral tentu. (mengapa ya? Coba lihat kembali daerah pada gambar dan berfikirlah). Luas daerah dibagi menjadi dua, yaitu luas daerah pada interval [0, 1] disebut A1 dan luas daerah pada interval [1, 3] disebut A2. Sehingga luas keseluruhannya adalah121220112320121123213502326AAAx dxx dxxxx= += +− = +− = −+− =∫∫Jadi luas daerahnya adalah 56 satuan luas.Gambar 5.27f(x) = x2g(x) = 2 - x10234213
MatematikaKurikulum 2013255Contoh 5.23Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh 233yx x=−+ dan 23yx=−−.Alternatif PenyelesaianLuas daerah yang dibatasi oleh 233yx x=−+dan 23yx=−−ditunjukkan pada daerah yang diarsir pada gambar disamping. Coba Anda amati dengan cermat gambar di samping. Mungkin Anda akan bertanya, berapa batas interval untuk gambar yang diarsir? Batas interval ini harus diketahui terlebih dahulu. Ini berarti harus dicari absis dari titik potong dua kurva tersebut.Menentukan absis titik potong223 3320(2) 002yyxxxxxxxxatau x=− +=−−=−===Jadi batas interval daerah yang diarsir adalah [0, 2], sehingga luas daerah tersebut2202202230(3)( 33)21384343Lxxxdxx x dxxx= −− −+=−= −= −=∫∫Jadi luas daerah yang dibatasi oleh 233yx x=−+dan 23yx=−−adalah 43satuan luas.y = x2 - 3x + 3y = 3 - xGambar 5.28atau
Kelas XII SMA/MA256Contoh 5.24Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = 4, y = 0 dan sumbu-y.Alternatif PenyelesaianLuas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = 4, y = 0 dan sumbu-yditunjukkan pada gambar 5.29.a berikut:y = x20a4Ry = x20b4∆y0c4y = x2∆xGambar 5.29 Luas daerah yang dibatas y = x2, y = 4, y = 0 dan sumbu-yJika diamati dari Gambar 5.29 b dan 5.29 c, ada dua cara untuk membuat partisi, yaitu mempartisi daerah dengan horisontal (mendatar) dan vertikal (tegak).Dipartisi secara horisontal (Gambar 5.29 b) Misalkan luas satu partisi ∆R, maka R yy∆≈ ∆ (mengapa?), sehingga 40Ry dy=∫ (mengapa batasnya 0 sampai 4?)440021633Ry dyy y===∫Dipartisi secara vertikal (Gambar 5.29 c)Misalkan luas satu partisi ∆R, maka 2(4)Rxx∆≈ − ∆(mengapa?), sehingga 2204Rx dx= −∫ (mengapa batasnya 0 sampai 2?)222300181644 8333Rx dxxx= − = − =−=∫
MatematikaKurikulum 2013257Jadi luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2yx=, garis y = 4, y = 0 dan sumbu-y adalah 163 satuan luas. Contoh 5.24 ini menunjukkan bahwa untuk menentukan luas daerah dapat dilakukan dua cara mempartisi, mempartisi secara horisontal dan vertikal. Tentunya dalam mempartisi daerah untuk menentukan luas, dipilih mana yang lebih praktis. Berdasarkan alternatif penyelesaian Contoh 5.24, disimpulkan bahwa untuk mempartisi daerah lebih praktis menggunakan partisi secara horizontal.Contoh 5.25Suatu tangki yang terisi penuh dapat menyimpan air sebanyak 200 liter. Tangki tersebut bocor dengan laju kebocoran = −'( ) 20Vtt, dengan t dalam jam dan V dalam liter. Berapa liter jumlah air yang keluar antara 10 dan 20 jam saat kebocoran terjadi? Berapa lama waktu yang dibutuhkan agar tangki kosong?Alternatif PenyelesaianMisalkan V(t) adalah jumlah air yang keluar karena bocor.Jumlah air yang bocor antara 10 dan 20 jam adalah ( ) ( )( )202020210101012010' 20 202VVV t dtt dttt− == −= −∫∫= (400−200) − (200−50) = 200 − 150 = 50Jadi jumlah air yang keluar karena bocor antara 10 dan 20 jam adalah 50 liter.Saat tangki kosong, berarti jumlah air yang keluar adalah 200 liter, sehingga waktu yang dibutuhkan adalah:222( )2001202002120200 0240400 0(20)(20) 020Vtttttttttt=−=−+ =−+ =− −==Jadi dibutuhkan waktu 20 jam agar tangki tersebut kosong.
Kelas XII SMA/MA258Contoh 5.26Dalam bidang ekonomi, fungsi biaya marginal (MC) dirumuskan sebagai dMCTCdQ=, dengan TC fungsi biaya total. Diketahui MC = 2Q + 10, jika barang diproduksi 15 unit, biaya totalnya 400, tentukan fungsi biaya totalnya.Alternatif PenyelesaianOleh karena dMCTCdQ=, maka TCMC dQ=∫, sehingga221010TCMC dQQdQ QQ c== + =++∫∫Untuk produksi 15 unit, biaya totalnya 400, sehingga Q400 = (15)2 + 10∙15 + c2400(15)10.15400 225 15025ccc=++=−−=21025TCQQ=++Jadi fungsi biaya total yang dimaksud adalah 21025QQ++Contoh 5.27Fungsi kecepatan dari suatu objek adalah ( )3 jika 013 jika 06xtVtt≤≤=≤≤. Anggap objek berada pada titik (0, 0) pada saat t = 0, carilah posisi objek pada saat t = 5?Alternatif PenyelesaianOleh karena ()dsVtdt=, dengan s posisi maka ()sV t dt=∫,, sehingga posisi benda pada saat t = 5 adalah:
MatematikaKurikulum 2013259[ ]151662100103 31( )33318 3 162 22sV t dtx dtdtxx==+ =+ = + −=∫ ∫∫Jadi posisi objek pada saat t = 5 adalah 1162 satuanAyo Menanya??Anda telah mengamati dan mencermati penggunaan integral tentu dalam contoh 5.17 sampai dengan 5.25. Contoh-contoh tersebut terkait dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva. Tentunya selama mengamati contoh tersebut ada hal yang ingin Anda tanyakan. Mungkin saja salah satu dari pertanyaan Anda sebagai berikut:1.Bagaimana menentukan luas daerah yang terletak di bawah sumbu-x?2.Jika diberikan fungsi f(x),g(x), garis x = a dan x = b, bagaimana menentukan luas daerah yang dibatasi oleh f(x),g(x), garis x = a dan x = b?3.Bagaimana menentukan batas interval dari suatu daerah yang terbentuk dari dua kurva?Nah, silahkan tulis pertanyaan Anda pada kotak berikut:
Kelas XII SMA/MA260Ayo Menggali Informasi+=+Amati luas daerah yang disajikan dalam gambar-gambar berikut.0(a)yRxaby = f (x)0(b)yxaby = f (x)∆xGambar 5.30 Luas daerah di atas sumbu-xMisalkan daerah yang terbentuk pada Gambar 5.30 dipartisi secara vertikal dengan panjang subinterval ∆xdan titik sampel pada partisi x. Karena titik sampel x, maka tinggi partisi adalah f(x). Misalkan ∆Amenyatakan luas partisi, maka: ()A fx x∆≈ ∆. Sehingga luas daerah pada Gambar 5.30 a adalah:Luas R = ......... dx∫Untuk menentukan luas daerah di bawah sumbu-x, langkahnya serupa dengan menentukan luas daerah di atas sumbu-x. Perhatikan Gambar 5.31 berikut:0yRxaby = f (x)0yxaby = f (x)∆xGambar 5.31. Luas daerah di bawah sumbu-x
MatematikaKurikulum 2013261Misalkan daerah yang terbentuk pada Gambar 5.31 dipartisi secara vertikal dengan lebar partisi ∆x dan titik sampel pada partisi x. Karena titik sampel x, maka tinggi partisi adalah 0 −f(x) = −f(x) (ingat, sumbu-x sama artinya dengan y = 0). Misalkan ∆Amenyatakan luas partisi, maka: ()Afx x∆ ≈− ∆. Sehingga luas daerah pada Gambar 5.31 a adalah:Luas R = ......... dx∫Sekarang bagaimana untuk menentukan luas daerah yang dibentuk dari dua kurva seperti Gambar 5.32 berikut?0yxaby = f (x)RGambar 5.32. Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurvaMisalkan daerah yang terbentuk pada Gambar 5.32 dipartisi secara vertikal dengan lebar partisi ∆x dan titik wakil pada partisi x. Karena titik sampel x, maka tinggi partisi adalah ... Misalkan ∆A menyatakan luas partisi, maka: ∆A ≈ ... Sehingga luas daerah pada Gambar 5.32 adalah:Luas R = ......... dx∫
Kelas XII SMA/MA262Ayo MenalarAnda telah mempelajari beberapa contoh tentang menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dengan menggunakan integral tentu. Lakukan analisa dari beberapa contoh di atas, kemudian cobalah untuk membuat prosedur menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva. Beberapa pertanyaan berikut mungkin membantu Anda dalam membuat prosedur menentukan luas daerah.1.Apakah sebaiknya perlu membuat sketsa daerah yang akan dicari luasnya?2.Daerah yang akan dicari luasnya terletak di atas atau di bawah sumbu-x?3.Apakah batas interval sudah ada? Jika belum ada bagaimana mencarinya?4.Jika mempartisi daerah yang akan ditentukan luasnya, sebaiknya mempartisi secara horisontal atau vertikal?5.Bagaimana memodelkan bentuk integral tentu untuk menentukan luas daerah?Bersama dengan teman Anda, tulislah prosedur yang kalian buat.Ayo MengomunikasikanPertukarkan prosedur menentukan luas daerah yang Anda buat dengan teman yang lain. Amati dan cermati dengan seksama prosedur menentukan luas dearah yang dibuat oleh teman Anda. Secara santun, berilah masukan atau saran perbaikan kepada Anda. Kemudian mintalah pendapat teman Anda tentang prosedur menentukan luas yang telah Anda buat.
MatematikaKurikulum 2013263Latihan 5.31.Carilah luas daerah yang dibatasi oleh garis-garis y = x, dan y = 4 −xdengan a. menggunakan rumus luas daerah yang dipelajari di geometrib. menggunakan integral.2.Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 8, dan garis-garis y = 2x, dan y = − 2x.3.a. Gambarlah grafik fungsi y = sin(x), 0≤ x ≤2π dan arsirlah daerah yang dibatasi oleh sumbu-x dan grafik fungsi yb. Seorang siswa menghitung luas daerah pada butir (a) sebagai berikut:Luas = 20sin( )x dxπ∫= []20cos( )xπ−= – cos(2π) – ( – cos(0)) = –1 – ( –1) = 0. Benar atau salah pekerjaan siswa tersebut? Beri alasan dari jawaban Anda.4.Gambar 1 berikut menunjukkan grafik fungsi f . Diketahui luas daerah A = 0,3, luas daerah B = 0,5, luas daerah C = 2,7, dan luas daerah D = 0,2. Hitunglah integral berikut berdasarkan gambar dan yang diketahui(a) ()baf x dx∫, (b) 0()bf x dx∫,(c) 0()cf x dx∫,(d) ()dcf x dx∫
Kelas XII SMA/MA264dDCcxyBbAaGambar 15.Carilah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = – x2 + 8x – 15 dengan sumbu x.6.Carilah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = – x2 + 8x – 15, garis singgung parabola yang melalui puncak parabola, dan sumbu-sumbu koordinat.7.Carilah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 4, dan garis yang melalui titik ( –1, 5) dan (2, 8). 8.Carilah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 + 4 dan garis singgung-garis singgung parabola yang melalui titik (0, 0).9.Diketahui garis singgung parabola y = x2 + ax + 4 pada titik x = 1 membentuk sudut 4πdengan sumbu-x. Carilah luas daerah yang dibatasi oleh garis y = x + 4 dan parabola tersebut.10.Diberikan gambar grafik fungsi y = x(2 – x) dan garis y = c. L1menyatakan daerah yang dibatasi oleh kedua grafik tersebut. Sedangkan L2 menyatakan daerah yang dibatasi oleh kedua grafik tersebut dan sumbu-y. Tentukan nilai c sehingga luas daerah L1 = 2 kali luas daerah L2.Gambar 2y = x(2 - x)y = cL2L1
MatematikaKurikulum 201326511.Diberikan gambar grafik y = 2x2 dan y2 = 4x. L2 menyatakan daerah yang dibatasi oleh kedua grafik tersebut. Sedangkan L1 menyatakan daerah yang dibatasi oleh grafik y2 = 4x, y = 2, dan sumbu-y. L3 menyatakan daerah yang dibatasi oleh grafik y = 2x2 , x = 1, dan sumbu-x. Tentukan luas daerah L1 dengan pengintegralan terhadap:a. variabel xb. variabel y. Kerjakan soal yang sama terhadap L2 dan L3. 12.a.Gambarlah suatu daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 9.b. Tentukan koordinat titik potong antara kurva y = x2 dan garis y = c, 0 < c < 9, yang dinyatakan dalam c.c. Jika garis horizontal y = c membagi daerah pada soal (a) sehingga perbandingan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, y = 9, y = c dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = c, y = x2 adalah 2 : 1, maka tentukanlah nilai c. 13.a.Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 −x2 dan y = 2 b.Hitunglah luas daerah pada soal (a) dengan(i). Menggunakan pengintegralan terhadap variabel x(ii). Menggunakan pengintegralan terhadap variabel y14. a. Gambarlah kurva y = sin-x dan y = cos-x dengan 0 ≤x ≤2π pada diagram yang sama. b. Carilah luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh sumbu-y, y = sin-x, y = cos-x.c. Carilah luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh sumbu-x, kurva y = cos-x, dan kurva y = sin-x, Gambar 3x - 1y = 2y2- 4xy - 2x2L1L2L3
Kelas XII SMA/MA26615.Nyatakan masing-masing limit berikut sebagai suatu integral a.()231lim cos( ) cos() cos() ... cos()nnnnnnnπππ π++++→∞b.123 2lim...4444nn nnnnnnn++ ++ + ++→∞16.Diketahui fungsi f(x) = 21xa.Gambarlah grafik fungsi f untuk –2 ≤x≤ 2, x ≠ 0. b.Pak Budi menghitung nilai integral 2221dxx−∫ sebagai berikut 2221dxx−∫ = 221xxx==−−= – 12– ( – 12−) = – 12– 12 = –1. Menurut pendapatmu, benar atau salahkah pekerjaan Pak Budi ? Jelaskan jawabanmu ! (Petunjuk : gunakan gambar pada (a))17.Carilah semua nilai positif a yang memenuhi persamaan 30(465)axxdx++∫= a4 + 2. 18.Carilah semua nilai a di interval [0, 4π] yang memenuhi persamaan2cosaxdxπ∫ = sin 2α.Soal-soal Pengayaan19.Carilah nilai-nilai A, B, dan C sedemikian sehingga fungsi f(x) = Ax2 + Bx + C memenuhi f (2) = –2, f(1) + f 1(1) = 4, 10()f x dx∫ = 5.
MatematikaKurikulum 201326720.Carilah nilai-nilai A, B, dan C sedemikian sehingga fungsi f(x) = 21AxBxx++ + Cx2 memenuhi f(–2) = 12, f 1(0) = 2, dan 20(1) ( )xf x dx+∫= 1. 21.Carilah semua nilai a yang memenuhi pertidaksamaan ()3212axdx+∫ > – 154. 22.Tentukan 40|3|xdx−∫23.Diketahui fungsi f yang didefinisikan sebagai berikut f(x) = |3 |,0,3,0xxxx−≥+<Tentukan (a) 40()f x dx∫, (b) 44()f x dx−∫24.Perhatikan gambar grafik fungsi f berikut -3-2-1012312345xBerdasarkan gambar di atas, urutkanlah nilai 21()f x dx∫, 31()f x dx∫, 41()f x dx∫, dan 51()f x dx∫, mulai dari nilai terkecil sampai dengan nilai terbesar.
Kelas XII SMA/MA268Catatan
MatematikaKurikulum 2013269Anton, H. Dan Rorres, C. 2004. Aljabar Linear Elementer, Versi Aplikasi, terjemahan. Jakarta: Erlangga Bittinger, L.M., 2010, Elementary and Intermediate Algebra, Boston : Pearson Eduation, Inc.Goenawan, J. 1997. 100 Soal dan Pembahasan Dimensi Tiga untuk Sekolah Menengah Umum. Jakarta: PT Gramedia Widiasarana Indonesia Herawati, Tri Dewi &. N.D. Matematika. PT Grafindo Media Pratama.Hirsch, Christian R., dkk. 2008. Core-Plus Mathematics Contemporary Mathematics in ContextCourse 1 Student Edition. New York: Mc Graw Hill.Hosch, W.L. 2011. The Britannica Guide to Geometry. New York : Britannica Educational PublishingLarson, R. and Boswell, L. Big Ideas Math Advanced 1. CaliforniaMurdock, Jerald; Kamischke, Ellen; and Kamischke, Eric. 2007. Discovering Algebra, an Investigative Approach. Key Curriculum Press.Purcell, E.J. dan Varberg, Dale. 1987. Calculus with Analytic Geometry, 5thEdition. Prentice Hall, Inc.Verberg, D., E. J. Purcell, and S. E. Steven. 2007. Calculus9th. NJ: Pearson EducationVollmar, Pamela, Edward Kemp . 2008. Mathematics for The International Student. Haese & Harris Publications.Sumber-sumber internet :1. http//www.dreamstime.com (Tanggal unduh 11 September 2014- jam 11.15)2. http//www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cramer.html (Tanggal unduh 15 September 2014- jam 21.11)3. http//wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler (Tanggal unduh 11 September 2014- jam 11.25)4. http//www.wikipedia.org (Tanggal unduh 11 Oktober 2014- jam 01.35)5. http://bacabiografi.blogspot.com/2011/05/biografi-al-khawarizmi-ilmuan-muslim.html (Tanggal unduh 11 Oktober 2014- jam 01.45)5. http//www.Perludiketahui.wordpress.com (Tanggal unduh 02 November 2014- jam 15.55)6. http://goth-id.blogspot.com/2012/04/transpirasi.html (Tanggal unduh 11 Oktober 2014- jam 01.35)7. http://www.thefamouspeople.com/profiles/bernhard-riemann-biography-440.php (Tanggal unduh 09 September 2014- jam 09.45)Daftar Pustaka
Kelas XII SMA/MA270Aproksimasi: penghampiranBidang Diagonal : bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu bangun ruangBidang Diagonal Balok: bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang pada balok Bidang Diagonal Kubus: bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang pada kubusBidang diagonal prisma atau limas :bidang yang dibatasi oleh dua diagonal bidang (bidang alas dan bidang atas) yang sejajar dan sama panjang, serta dua rusuk tegak yang sejajar atau bidang yang dibatasi oleh diagonal bidang alas dan dua rusuk bidang tegakBidang Diagonal Prisma Segitiga:bidang yang dibatasi oleh dua diagonal bidang tegak yang saling berpotongan dan satu rusuk diagonal bidang (bidang alas atau bidang atas) Bunga Majemuk:bunga (uang) yang dibayarkan berdasarkan modal dan akumulasi bunga periode-periode sebelumnya.Bunga Tunggal:bunga (uang) yang dibayarkan hanya berdasarkan modal yang disimpan atau dipinjamDiagonal Ruang:ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang, Diagonal Sisi/bidang:ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut (bidang) yang berhadapan pada setiap bidang atau sisiGlosarium
MatematikaKurikulum 2013271Fungsi:aturan yang memasangkan setiap unsur didomain ke tepat satu unsur di kodomainIntegral Tentu:suatu bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nolInterval:batasan untuk suatu variabelInvers: lawan atau kebalikanInvers Matriks: matriks kebalikan dari suatu matriks persegiJumlah Riemann:jumlah luas-luas persegipanjang pada setiap partisiKesamaan Matriks:matriks-matriks dengan ordo sama dan elemen-elemen yang seletak dari matriks-matriks tersebut samaKonstanta:representasi matematika yang berisi bilangan, variabel, atau simbol operasi yang tidak berubah nilainyaKoordinat Kartesius:Sistem untuk menyatakan posisi suatu titik pada sebuah bidang grafik Matriks:susunan bilangan yang terdiri dari baris dan kolomMatriks Identitas:matriks persegi yang semua unsur diagonalnya sama dengan 1, dan semua unsur yang lain sama dengan nolMatriks persegi:matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolomOrdo matriks:ukuran matriks, banyaknya baris dan kolom suatu matriks
Kelas XII SMA/MA272Partisi (subinterval):bagian dari intervalPersegipanjang:Suatu segi empat yang mempunyai empat sudut siku-sikuRelasi :memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lainSigma:jumlah dari bilangan-bilanganSuku Bunga:prosentase dari modal yang dibayarkan beberapa kali dalam periode tertentu (biasanya per tahun) Teorema:pernyataan yang harus dibuktikan kebenarannyaTranspose matriks:matriks yang diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom dan sebaliknya.